一道上海初中生的数学题-致学教育

一道上海初中生的数学题

从小学到初中，好像反而更简单了

这道题来自虎扑的同名帖子：

虽然感觉在公众号发这种题目不太合适，但毕竟是花时间算过，也参考过了别人的思路。好吧就是水了一期……

在继续往下看之前，如果你没做过这道题目，可以拿张草稿纸自己算一下，看能不能算出来，也许你能找到更好的思路，对吧？

#1 使用二项展开式 

虽然是笨办法，但确实是第一时间想到的思路：

好的，恭喜你蒙对了答案吗？而且二项式系数初中生也不一定会，这就提示我们要利用之前的结果导出递推式：

恭喜你，已经是个及格的初中生了！

#2 从通项到递推

可以看到，上面我们实际是从 a(n) 的通项公式出发，通过代数运算发现规律，从而导出了 a(n) 的递推式。有没有更快的方法，能一眼看出 a(n) 的递推式呢？其实是有的，回顾 Fibonacci 数列的通项公式的推导过程：

现在再回头看 a(n)，是不是一秒就能看出递推式了？显然 x 和 1/x 是（二次）特征方程的两个解，使用韦达定理，或者直接套 x + 1/x = -1，立刻得出特征方程为 x^2+x+1=0，故递推式为 a(n)+a(n-1)+a(n-2)=0，省去了一系列推导……

#3 取巧的做法

这也是虎扑论坛上最多人使用的方法：

确实很简洁，但是是怎么想到的呢？

#4 复数

其实只要你尝试去解 x + 1/x = -1，就会发现这个方程是传统意义上无解的，这就使你开始思考复数的情形。而在复数的情况下，x + 1/x = -1 又该怎么解呢？

我们知道，复数可以表示为二位平面下的一个点 (x, y)，也可以使用极坐标，表示为其模长和幅角 (r, θ)。从几何的角度，加法需要遵循平行四边形法则，也就是说，x, 1/x 和 (-1.0) 组成了一个三角形。

而由欧拉公式我们知道，如果 x 的幅角是 θ，则 1/x 的幅角就是 -θ，因此这是一个等腰三角形。而如果 x 的模长为 r，1/x 的模长就是 1/r，故 r=1/r => r = 1/r = 1，故这是一个等边三角形， x 和 1/x 也可以很快看出来，x^3 = 1 也就出来了